Angenommen es $ V $ ist perfekt geheim, aber $\exists(p,c)\in P\times C\ \neg\exists k\in K: E_k(p)=c$. Für ein solches Paar gilt aber $0<Pr(p)\neq Pr(p|c)=0$. Durch diesen Widerspruch kann aus der perfekten Geheimhaltung auf die zweite Behauptung geschlossen werden.
\paragraph{Beweis: \enquote{$\Leftarrow$}:}
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\item$ P=C=K=\{0,1\}^n $ wobei $ n=tb $
\item$ r $ Runden
\item Keyschedule $ k \mapsto k_0,\dots,k_r $ mit $ |k_i|=n $
\item$ t $ bijektive Substitutionen $ S_i:\{0,1\}^n\to\bits^n$
\item$ t $ bijektive Substitutionen $ S_i:\{0,1\}^b\to\bits^b$
Die 16 Bytes werden als $4\times4$ Matrix gesehen.
\begin{itemize}
\item ShiftRows: $ i $-te Zeile um $ i-1$ nach rechts rotieren
\item MixColumns: Statische Matrix von rechts an die gegebene Matrix multiplizieren.
\end{itemize}
\item Ergebnis \textsc{Xor} Rundenschlüssel
\end{enumerate}
\subsection{Asymetrische Verschlüsselung}
\subsection{Asymmetrische Verschlüsselung}
$ d $ kann nicht mit vertretbarem Aufwand aus $ e $ berechnet werden. $ e $ kann öffentlich sein.
\subsubsection{RSA}
\begin{itemize}
\item$ p,q $ sind Primzahlen geeigneter Länge, so ist $ N=pq $
\item Wähle $ e\in\Z^*_{\varphi(N)}$ und errechne $ d\in\Z^*_{\varphi(N)}$ mit $ ed=1\mod\varphi(N)$
\item$ pk=(N,e)$ und $ sk=(N,d)$
\item$ E_{(N,e)}=m^e \mod N =c $
\item$ D_{(N,d)}=c^d \mod N =m $
\end{itemize}
\subsubsection{Elgamal}
\begin{itemize}
\item$ p $ ist Primzahl geeigneter Länge und einen Generator von $\Z_p^*$
\item Wähle ein zufälliges $ a\in\{0,\dots,p-2\}=\Z^*_p$ und setze $ h=g^a\mod p $
\item$ pk=(p,g,h)$ und $ sk=(p,g,a)$
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item wähle $ r\in\{0,\dots,p-2\}$
\item$ c=(v,w)$ mit $ v=g^r\mod p $ und $ w=h^r m \mod p $
\item$ m=u^{-1} w $ mit $ u=v^a $
\end{enumerate}
\subsubsection{Diffie-Helman Protokoll}
\subsubsection{Diffie-Hellman Protokoll}
\begin{enumerate}
\item Alice erzeugt einen privaten Exponenten $ a $ einen Generator $ g $ und eine Primzahl $ p $
\item Alice errechnet $ A=g^a \mod p $ und schickt $ A,g,p $ an Bob
...
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\end{enumerate}
Ein passiver Angreifer kann aus $ A,B,g,p $ geheimen Schlüssel $ k $ nicht errechnen. Um das Verfahren gegen aktive Angreifer zu sichern werden ist ein Authentifizierungsverfahren nötig.
\subsubsection{Babystep-Giantstep-Algorithmus}
Berechnet das diskrete Logarithmus Problem in einer zyklischen Gruppe, wobei die Basis ein Generator für diese Gruppe sein muss.
\item[No-Message] Angreifer kann unter Kenntnis des öffentlichen Schlüssels für eine beliebige Nachricht $ m $ eine gültige Signatur $ u $ erzeugen.
\item[Chosen-Message] Angreifer kann unter Kenntnis des öffentlichen Schlüssels und beliebiger Paare $(m',u')$ eine gültige Signatur $ u $ für Nachricht $ m $ erzeugen.
\end{description}
\subsection{RSA}
Schlüsselerzeugung wie bei RSA
$ P=U=\Z_N,\qquad S_{(N,d)}(m)=m^d=u\mod N,\qquad V_{(N,e)}(m,u)=1\Leftrightarrow u^e=m\mod N $
Weder sicher gegen No-Message- noch gegen Choosen-Message-Modell.
\subsubsection{mit Redundanz}
$ S_{(N,d)}(m)=(m||m)^d=u\mod N $ wobei $ m $ in seiner Binärdarstellung vorliegt.\\
$ P=\bits^l$ mit $ l=\lfloor\log(N)/2\rfloor, U=\Z_N $
\subsubsection{mit Hashing}
$ S_{(N,d)}(m)=h(m)^d=u\mod N $\\
$ P=\bits^*, U=\Z_N $
\subsection{Elgamal}
Schlüsselerzeugung wie bei Elgamal, $ pk=(p,g,A=g^a)$
\subsection{DSA}
$ P=\Z_{p-1}\qquad U=\Z_p\times\Z_{p-1}$
\begin{enumerate}
\item Wähle zufälliges $k\in\{1,\dots,p-2\}$ mit $ ggT(k,p-1)=1$
\item$ u=(r,s)$ mit $ r=g^k $ und $ s=k^{-1}(m-ar)\mod p-1$
\end{enumerate}
$ V_{(p,g,h)}(m,v,w)=1\Leftrightarrow A^rr^s=g^m \mod p $
Weder sicher gegen No-Message- noch gegen Choosen-Message-Modell.
\subsubsection{mit Hashing}
$ P=\bits^*$
$ u=(r,s)$ mit $ r=g^k $ und $ s=k^{-1}(h(m)-ar)\mod p-1$
$ V_{(p,g,h)}(m,v,w)=1\Leftrightarrow A^rr^s=g^{h(m)}\mod p $
\subsection{DSA}
\subsubsection*{Schlüsselerzeugung}
\begin{enumerate}
\item Erzeuge kleine Primzahl $ q $ mit $2^159<q<160$
\item Erzeuge große Primzahl $ p $ mit $2^{511+64 t} < p < 2^{512+64 t} , t \in{1,\dots,8}$ und $ q|p-1$
\item Wähle Generator $ z\in\Z_p^*$ und setze $ g=z^{(p-1)/q}$
\item Wähle $ a\in\{1,\dots,q-1\}$ und setze $ A=g^a \mod p $
\item$ pk=(p,q,g,A), sk=(p,q,g,a)$
\end{enumerate}
$ P=\bits^*, U=\Z_q\times\Z_q, h:\bits^*\to\Z_q $
\subsubsection*{Signatur}
\begin{enumerate}
\item Wähle zufälliges $k\in\{1,\dots,q-1\}$
\item$ u=(r,s)$ mit $ r=g^k \mod q $ und $ s=k^{-1}(h(m)+ar)\mod q $ mit $ s\neq0$
